On pose \(\rho\), la fonction qui attribue à un élément de \(E\) le produit de sa norme avec celle de \(\varphi_F\).

Cette fonction est sous-linéaire, donc on peut étendre \(\varphi_F\) via le Théorème de Hahn-Banach.

Cette domination a lieu à la fois pour \(x\) et pour \(-x\), ce qui montre qu'on a la même norme.

C'est immédiat par Continuité de \(\varphi\) (Densité \(\to\) tout Ouvert contient une Boule où \(\varphi\) s'annule).

On procède par contraposée et on suppose \(F\) non dense.

D'après le Lemme de Riesz, il existe un point de \(E\) de Norme \(1\) et distance avec \(F\) qui est \(\geqslant\frac12\).

On pose \(\varphi\) la fonction qui associe à la somme d'un élément de \(F\) et de \(\lambda x_0\) le coefficient \(\lambda\) (c'est une Forme linéaire).

\(F\) est continue puisqu'on peut majorer \(\lVert e+\lambda x_0\rVert\) via \(\lvert\varphi(e+\lambda x_0)\rvert\).

On peut alors utiliser le Théorème de Hahn-Banach pour prolonger \(\varphi\).

C'est une Forme linéaire non nulle qui s'annule en \(F\), ce qui prouve le résultat voulu.

On prend la suite dense dans \(E^*\) et, pour chaque terme, on pose un vecteur \(x_n\) de norme \(1\) tq \(\varphi_n(x_n)\leqslant\lVert\varphi_n\rVert/2\).

On pose \(F\) l'ensemble des combinaisons linéaires finies d'éléments \(x_n\) \(\to\) si \(F\) est dense, alors c'est gagné.

Sinon, il existe une forme linéaire qui s'annule sur \(F\), qu'on peut considérer de norme \(1\).

Par densité de \((\varphi_n)_n\), il existe un coefficient \(n\) tq \(\varphi_n\) est assez proche de \(\varphi\).

On peut alors montrer que \(\varphi\) ne s'annule pas en \(x_n\in F\), ce qui amène une contradiction.

On va procéder par critère de densité.

On peut identifier cette forme linéaire à un élément de \(l^q\).

La suite ainsi définie est donc bornée, donc on peut considérer une série entière.

Cette série entière a un point d'accumulation en \(0\), ce qui nous permet de conclure via le Théorème des zéros isolés.

On va procéder par critère de densité.

On peut utiliser la linéarité de \(l\) pour multiplier par un scalaire et réécrire l'égalité sous forme de série entière.

Utiliser la linéarité de \(l\) dans l'écriture de la série entière.

Cette série entière s'annule par Théorème des zéros isolés.

\(l\) est donc nulle sur l'ensemble des polynômes, qui est dense dans \(\mathcal C([0,1])\) par le Théorème de Stone-Weierstrass.

On prend \(F\) un sev de dimension finie \(\to\) son dual est de même dimension.

On utilise le Théorème de Hahn-Banach pour prolonger les éléments de la base de \(F^*\) sur \(E\).

Cette famille reste libre.

On peut prendre \(n\) aussi grand que l'on veut, ce qui nous permet de conclure.

Les deux ensembles sont disjoints.

L'autre ensemble est Fermé en tant que sous-espace vectoriel de dimension finie.

On peut donc appliquer le Théorème de séparation stricte.

On a \(h\circ T=0\), puisque son image est un sous-espace vectoriel borné.

On décompose \(h\) dans la décomposition canonique de \(({\Bbb R}^{k+1})^\prime\).

On a \(h(e)\ne0\), et \(h\circ T=0\), ce qui nous donne une équation.

On a donc bine une décomposition de \(g\) selon les \(f_i\).

On a l'existence par Théorème de Hahn-Banach, reste à montrer l'unicité.

Si on a deux prolongements, alors ils sont de norme \(1\) et leur moyenne n'est pas d'ordre \(1\) par convexité stricte.

Quelle est cette norme ? Elle est \(\leqslant1\) par inégalité triangulaire.

Elle est aussi \(\geqslant1\) en tant que prolongement, ce qui est absurde et montre l'unicité.

Vu l'exo précédent, on va essayer d'utiliser l'absence de convexité relative dans notre raisonnement.

On pose \(F\) l'ensemble des points où \(\ell_1=\ell_2\) (qui est non nul), et \(\phi\) la restriction de l'une des deux fonctions à cet espace, de manière à ce que les deux fonctions soient un prolongement de \(\phi\).

Reste à montrer que la norme de \(\phi\) est la bonne \(\to\) on a une majoration en tant que restriction.

Il suffit alors de montrer que cette norme est atteinte (malicieux).